Rectas en el espacio.
En el plano es posible determinar una recta al usar el concepto de pendiente si se conocen dos puntos por donde ésta pasa o un punto y su pendiente m, también al estudiar determinantes de orden 3\times3 se mostró que es posible escribir la ecuación de una recta mediante un determinante, sin embargo, en \(\mathbb{R}^3\) es un poco distinto.
Para conocer la ecuación de una recta en el espacio es necesario conocer un punto contenido en la recta y un vector paralelo a ella. Considere una recta que pasa por un punto \(P\left(x_1,y_1,z_1\right)\), la cual es paralela al \(\vec{\mathbf{v}}=\left< a,b,c\right>\) como se muestra en la figura, entonces se dice que el vector \(\vec{\mathbf{v}}\) es un vector de dirección (ya que existen infinitos vectores de dirección) y las componentes de \(\mathbf{\vec{u}}\) son llamados números directores.
Una descripción geométrica de la recta se obtiene al considerar un punto cualquiera \(Q(x,y,z)\) de la recta de modo que el vector \(\mathbf{\vec{PQ}}\) se encuentra sobre la recta y es paralelo al vector de dirección \(\vec{\mathbf{v}}.\) Esto conlleva a la posibilidad de escribir todos puntos de la recta como los puntos \(Q(x,y,z)\) tales que el vector \(\mathbf{\vec{PQ}}\) es paralelo al vector \(\mathbf{\vec{PQ}},\) y como ya se sabe dos vectores son paralelos si y solo si uno de ellos es múltiplo escalar del otro. Eligiendo el escalar \(t\) se escribe \(\mathbf{\vec{PQ}}=t\mathbf{\vec{v}}\) y de la definición de vector que va desde un punto a otro se obtiene,
$$\mathbf{\vec{PQ}}=\left< x-x_1,y-y_1,z-z_1\right>=\left< ta,tb,tc\right>$$
Igualando las componentes y despejando \(x,y,z\) se obtiene las ecuación de la recta.
Ecuación de una recta en el espacio.
Sea \(t\) en parámetro cualquiera, la forma paramétrica de la ecuación de una recta que pasa por el punto \(P\left(x_1,y_1,z_1\right)\) y es paralela al vector \(\vec{\mathbf{v}}=\left< a,b,c\right>\) está dada por la expresión, $$\left\{\begin{array}{c} x=x_1+at\\y=y_1+bt\\z=z_1+ct\end{array}\right.$$ Si en el vector \(\vec{\mathbf{v}}=\left< a,b,c\right>\) ninguna de sus componentes es cero, despejando al parámetro \(t\) se escribe la forma simétrica de la recta como, $$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$$ En los casos en que el vector de dirección \(\vec{\mathbf{v}}=\left< a,b,c\right>\) alguna de sus componentes es cero, al eliminar el parámetro para la variable cuyo número director es cero, por ejemplo, para \(\vec{\mathbf{v}}=\left< a,b,0\right>\) es posible escribir la recta como, $$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b};\ \ \ z=z_1$$ es la forma simétrica. Lo cual expresa que la recta está en el plano \(z=z_1.\)
Otra forma de considerar una recta en el espacio es a través de su forma vectorial, la cual considera la recta como la suma del vector de posición que va al punto \(P\left(x_1,y_1,z_1\right)\) y un vector \(\vec{\mathbf{v}}=\left< a,b,0\right>\) por lo que se suele escribir la recta en la forma,
\begin{align}
R:&\left< x_1,y_1,z_1\right>+t\left< a,b,c\right>\\
R:&\left< x_1+at,y_1+bt,z_1+ct\right>\end{align}
así que las ecuaciones de las componentes son \(x=x_1+at;\ y=y_1+bt;\ z=z_1+ct\)
Para determinar los puntos de la recta basta con darle valor al parámetro \(t.\)
Ver los ejemplos Ej1; Ej2 y Ej3 del apartado Ejercicio I en la pestaña de arriba para una mayor comprensión.
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Se dice que dos recta en el espacio \(L_1\) y \(L_2\) son paralelas, lo cual se escribe como \(L_1\parallel L_2\) cuando sus vectores de dirección son paralelos, esto es \(\mathbf{\vec{v}}_2=c\mathbf{\vec{v}}_1\) donde \(c\) es un escalar, esto es, si \(\mathbf{\vec{v}}_1= \left< v_1,v_2,v_3\right>\) entones \(\mathbf{\vec{v}}_2=\left< cv_1,cv_2,cv_3\right>\).
Sea la recta \(L_1=\left< x_0,y_0,z_0\right>+t\left< a,b,c\right>\)
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Determinar la ecuación de la recta que contine al punto \(P(2,\ 3,\ 5)\) y es paralela al vector \(\mathbf{\vec{v}}=\left< 4,6,8\right>\) en su forma paramétrica y simétrica y vectorial
Punto sobre una recta. Determinar tres puntos adicionales de la recta que contiene los puntos \(P(3,5,7)\) y \(Q(2,4,6)\)
a. Determinar la ecuación de la recta que contine los puntos \(P(2,3,7)\) y \(Q(5,9,7)\) en su forma paramétrica y simétrica (si es posible). b. Determinar su intersección con el plano \(xz.\)